Tuyên bố miễn trừ trách nhiệm: Tôi đã cung cấp quyền truy cập sớm vào phiên bản beta nội bộ của Grok 4.20 Nó đã tìm thấy một hàm Bellman mới cho một trong những vấn đề mà tôi đã làm việc cùng với sinh viên của tôi, N. Alpay. Vấn đề này giảm xuống việc xác định hàm cực đại điểm U(p,q) dưới hai ràng buộc và hiểu hành vi của U(p,0). Trong bài báo của chúng tôi, chúng tôi đã chứng minh U(p,0)\geq I(p), trong đó I(p) là hồ sơ hình học Gaussian, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} khi p ~ 0. Sau ~5 phút, Grok 4.20 đã sản xuất một công thức rõ ràng U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, trong đó \tau là thời gian thoát của chuyển động Brown từ (0,1) bắt đầu tại p. Điều này dẫn đến U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) khi p ~ 0, một cải tiến căn bậc hai trong yếu tố logarithmic. Có ý nghĩa gì của kết quả này không? Nó sẽ không cho bạn biết cách thay đổi thế giới vào ngày mai. Thay vào đó, nó cung cấp một bước nhỏ hướng tới việc hiểu những gì đang diễn ra với các trung bình của các tương tự ngẫu nhiên của đạo hàm (biến thiên bậc hai) của các hàm Boolean: chúng có thể nhỏ đến mức nào? Cụ thể hơn, điều này cung cấp một giới hạn dưới sắc nét trên chuẩn L1 của hàm vuông dyadic áp dụng cho các hàm chỉ thị 1_A của các tập A \subset [0,1]. Trong tweet trước của tôi về hàm Takagi, chúng tôi đã thấy rằng giới hạn dưới sắc nét trên ||S_1(1_A)||_1 kỳ diệu trùng hợp với hàm Takagi của |A|, điều này (đối với tôi) liên quan đến giả thuyết Riemann. Ở đây, chúng tôi thu được một giới hạn dưới sắc nét trên ||S_2(1_A)||_1 được cho bởi E \sqrt{\tau}, trong đó chuyển động Brown bắt đầu tại |A|. Hàm này thuộc về gia đình các hồ sơ loại hình học, nhưng không giống như hàm Takagi fractal, nó mượt mà và không trùng với hồ sơ hình học Gaussian. Cuối cùng, trong phân tích hàm điều hòa, người ta biết rằng hàm vuông không bị giới hạn trong L^1. Câu hỏi ở đây chủ yếu là về sự tò mò: nó phình ra như thế nào khi được kiểm tra trên các hàm Boolean 1_A. Trước đây, giới hạn dưới tốt nhất được biết là |A|(1-|A|) (Burkholder—Davis—Gandy). Trong bài báo của chúng tôi, chúng tôi đã thu được |A| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}. Hàm Bellman mới của Grok này cho |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) và giới hạn này thực sự sắc nét.

Nếu bạn tiếp tục thử nghiệm các bài toán Erdős với LLMs, rất có khả năng bạn sẽ cuối cùng giải quyết được một trong những bài toán mở. Các chuyên gia không làm điều này (vì những lý do hiển nhiên). Những người không phải chuyên gia giả định rằng các chuyên gia đang làm điều đó. Họ thì không.

Cài đặt Aristotle. Lấy khóa API. Chạy nó từ terminal của bạn. Chọn bất kỳ vấn đề mở nào trong toán học và nhập vào aristotle (bằng ngôn ngữ tự nhiên của nó!). Sau vài giờ, nó sẽ hoặc tạo ra bằng chứng chính thức hoàn chỉnh bằng lean hoặc có thể thất bại. 👏