Отказ от ответственности: Я предоставил ранний доступ к внутренней бета-версии Grok 4.20 Она нашла новую функцию Беллмана для одной из задач, над которой я работал со своим студентом Н. Алпаем. Задача сводится к определению точечно максимальной функции U(p,q) при двух ограничениях и пониманию поведения U(p,0). В нашей статье мы доказали, что U(p,0)\geq I(p), где I(p) — это гауссовский изопериметрический профиль, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} при p ~ 0. Через ~5 минут Grok 4.20 выдала явную формулу U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, где \tau — это время выхода броуновского движения из (0,1), начиная с p. Это дает U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) при p ~ 0, что является улучшением квадратного корня в логарифмическом факторе. Есть ли какое-либо значение этого результата? Это не скажет вам, как изменить мир завтра. Скорее, это дает небольшой шаг к пониманию того, что происходит со средними стохастическими аналогами производных (квадратичная вариация) булевых функций: насколько маленькими они могут быть? Более точно, это дает резкую нижнюю границу на L1 норму диадического квадратного функции, применяемой к индикаторным функциям 1_A множеств A \subset [0,1]. В моем предыдущем твите о функции Такаги мы увидели, что резкая нижняя граница на ||S_1(1_A)||_1 чудесным образом совпадает с функцией Такаги |A|, которая (удивительно для меня) связана с гипотезой Римана. Здесь мы получаем резкую нижнюю границу на ||S_2(1_A)||_1, заданную E \sqrt{\tau}, где броуновское движение начинается с |A|. Эта функция принадлежит к семейству профилей типа изопериметрии, но в отличие от фрактальной функции Такаги, она гладкая и не совпадает с гауссовским изопериметрическим профилем. Наконец, в гармоническом анализе известно, что квадратная функция не ограничена в L^1. Вопрос здесь больше о любопытстве: как именно она раздувается при тестировании на булевых функциях 1_A. Ранее лучшая известная нижняя граница была |A|(1-|A|) (Беркхолдер—Дэвис—Ганди). В нашей статье мы получили |A|(1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}. Эта новая функция Беллмана Grok дает |A|(1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) и эта граница на самом деле резкая.

Если вы продолжите тестировать задачи Эрдёша с помощью LLM, то очень вероятно, что в конечном итоге вы решите одну из открытых задач. Эксперты этого не делают (по очевидным причинам). Неэксперты предполагают, что эксперты занимаются этим. Но это не так.

Установите Aristotle. Получите API-ключ. Запустите его из вашего терминала. Выберите любую открытую задачу в математике и введите её в Aristotle (на естественном языке!). Через несколько часов он либо выдаст полный формальный доказательство в Lean, либо может не справиться. 👏