Zastrzeżenie: Przyznałem wczesny dostęp do wewnętrznej wersji beta Grok 4.20 Znalazł nową funkcję Bellmana dla jednego z problemów, nad którymi pracowałem z moim studentem N. Alpay. Problem sprowadza się do zidentyfikowania punktowo maksymalnej funkcji U(p,q) pod dwoma ograniczeniami oraz zrozumienia zachowania U(p,0). W naszej pracy udowodniliśmy, że U(p,0)\geq I(p), gdzie I(p) to profil izoperymetryczny Gaussa, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} dla p ~ 0. Po ~5 minutach Grok 4.20 wygenerował wyraźny wzór U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, gdzie \tau to czas wyjścia ruchu Browna z (0,1) zaczynając od p. To prowadzi do U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) dla p ~ 0, co stanowi poprawę w czynniku logarytmicznym. Czy ten wynik ma jakieś znaczenie? Nie powie ci, jak zmienić świat jutro. Raczej daje mały krok w kierunku zrozumienia, co się dzieje ze średnimi stochastycznych analogów pochodnych (wariacja kwadratowa) funkcji Boole'a: jak małe mogą być? Dokładniej mówiąc, daje to ostry dolny limit normy L1 funkcji kwadratowej dyadycznej zastosowanej do funkcji wskaźnikowych 1_A zbiorów A \subset [0,1]. W moim poprzednim tweecie o funkcji Takagi, zobaczyliśmy, że ostry dolny limit na ||S_1(1_A)||_1 cudownie pokrywa się z funkcją Takagi |A|, która (co zaskakujące dla mnie) jest związana z hipotezą Riemanna. Tutaj uzyskujemy ostry dolny limit na ||S_2(1_A)||_1 dany przez E \sqrt{\tau}, gdzie ruch Browna zaczyna się od |A|. Ta funkcja należy do rodziny profili typu izoperymetrycznego, ale w przeciwieństwie do fraktalnej funkcji Takagi, jest gładka i nie pokrywa się z profilem izoperymetrycznym Gaussa. Na koniec, w analizie harmonicznej wiadomo, że funkcja kwadratowa nie jest ograniczona w L^1. Pytanie tutaj dotyczyło bardziej ciekawości: jak dokładnie eksploduje, gdy jest testowana na funkcjach Boole'a 1_A. Wcześniej najlepszy znany dolny limit wynosił |A|(1-|A|) (Burkholder—Davis—Gandy). W naszej pracy uzyskaliśmy |A| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}. Ta nowa funkcja Bellmana Groka daje |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) i ten limit jest rzeczywiście ostry.

Jeśli będziesz dalej testować problemy Erdősa z LLM, jest bardzo prawdopodobne, że w końcu rozwiążesz jeden z otwartych. Eksperci tego nie robią (z oczywistych powodów). Nieeksperci zakładają, że eksperci to robią. Nie robią.

Zainstaluj Aristotelesa. Uzyskaj klucz API. Uruchom go z terminala. Wybierz dowolny otwarty problem w matematyce i wprowadź go w Aristotelesie (w jego naturalnym języku!). Po kilku godzinach może on wygenerować pełny formalny dowód w Lean lub może się nie udać. 👏