Aviso legal: Había dado acceso anticipado a la versión beta interna de Grok 4.20 Encontró una nueva función Bellman para uno de los problemas en los que había estado trabajando con mi alumno N. Alpay. El problema se reduce a identificar la función máxima puntual U(p,q) bajo dos restricciones y entender el comportamiento de U(p,0). En nuestro artículo demostramos que U(p,0)\geq I(p), donde I(p) es el perfil isoperimétrico gaussiano, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} como p ~ 0. Tras ~5 minutos, Grok 4.20 produjo una fórmula explícita U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, donde \tau es el tiempo de salida del movimiento browniano desde (0,1) que comienza en p. Esto da lugar a U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) en p ~ 0, una mejora de raíz cuadrada en el factor logarítmico. ¿Algún significado de este resultado? No te dirá cómo cambiar el mundo mañana. Más bien, da un pequeño paso hacia entender qué está ocurriendo con los promedios de análogos estocásticos de derivadas (variación cuadrática) de funciones booleanas: ¿qué tan pequeños pueden ser?  Más precisamente, esto da una cota inferior pronunciada sobre la norma L1 de la función cuadrada diádica aplicada a funciones indicadoras 1_A de conjuntos A \subconjunto [0,1]. En mi tuit anterior sobre la función Takagi, vimos que el límite inferior pronunciado en ||S_1(1_A)||_1 milagrosamente coincide con la función de Takagi de |A| que (para mi sorpresa) está relacionada con la hipótesis de Riemann. Aquí, obtenemos una cota inferior pronunciada en ||S_2(1_A)||_1 dado por E \sqrt{\tau}, donde el movimiento browniano comienza en |A|. Esta función pertenece a la familia de perfiles de tipo isoperimétrico, pero a diferencia de la función fractal de Takagi, es suave y no coincide con el perfil isoperimétrico gaussiano. Finalmente, en el análisis armónico se sabe que la función cuadrado no está acotada en L^1. La pregunta aquí era más por curiosidad: ¿cómo es exactamente que explota cuando se prueba en funciones booleanas 1_A?  Anteriormente, el límite inferior más conocido era |A|(1-|A|) (Burkholder—Davis—Gandy). En nuestro artículo, obtuvimos |A| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}. Esta nueva función de Bellman de Grok da |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) Y este límite es realmente afilado.